Объемные многогранники из бумаги инструкция. как сделать из бумаги многогранник

Делаем двадцатигранник

Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.

Правильные додекаэдры

Выпуклый правильный додекаэдр является одним из пяти правильных Платоновых тел и может быть представлен его символом Шлефли {5, 3}.

Двойной полиэдр является регулярным Икосаэдром {3, 5}, имеющий пять равностороннего треугольника вокруг каждой вершины.

Четыре вида правильных додекаэдров
Выпуклый правильный додекаэдр Малый звездчатый додекаэдр Большой додекаэдр Большой звездчатый додекаэдр

Выпуклая додекаэдра также имеет три созвездий , все из которых являются регулярной звездой додекаэдры. Они образуют три из четырех многогранников Кеплера – Пуансо . Это малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}, большой додекаэдр {5, 5/2} и большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}. Малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу; большой звездчатый додекаэдр двойственен большому икосаэдру {3, 5/2}. Все эти правильные звездчатые додекаэдры имеют правильные пятиугольные или пентаграммические грани. Выпуклый правильный додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр — разные реализации одного и того же абстрактного правильного многогранника ; малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр — разные реализации другого абстрактного правильного многогранника.

Ажурная модель

Существует несколько типов оригами-додекаэдров, но сделать эту прозрачную конструкцию из бумажных модулей проще всего. Хорошее задание для детей, желающих познакомиться с азами пространственной геометрии и взрослых, ищущих эффективное средство для снятия стресса. Желательно использовать для игрушки бумагу ками с рисунком, она придаст особый шарм и колорит.

Пошаговая инструкция:

  1. Для создания кусудамы понадобится 30 одинаковых модулей. Их складывают из прямоугольников, имеющих соотношение сторон 3:4. Например, размером 6х8 см, 9х12 см и так далее. Можно брать как одно-, так и двухсторонние листы.
  2. Складываем каждый прямоугольник пополам вдоль длинной стороны. После чего делаем Z-образный сгиб.
  3. Располагаем получившуюся полоску длинной стороной к себе. Загибаем правый нижний угол вверх. Переворачиваем заготовку на 180°. И повторяем действие для правого нижнего угла (другого).
  4. Складываем фигуру по диагонали, как показано на рис 4.
  5. Модули для додекаэдра-кусудамы готовы.

Остаётся соединить их в пространственную композицию. Для этого короткую часть одного модуля вставляем к «карман» длинной части другого. И располагаем так, чтобы внутренние углы и грани обоих элементов совпали.

Аналогичный образом добавляем третий модуль, соединяя его с предыдущими двумя и формируя устойчивый конструктивный узел.

Продолжаем крепить детали друг к другу, пока не получится объёмная фигура.

За счёт необычной бумаги с принтом, получается стильный предмет декора. Чтобы кусудама не распадалась, лучше соединить узловые элементы с помощью клея.

Подробная сборка ажурного додекаэдра представлена и в видео-МК:

Сфера применения

Благодаря своим свойствам додекаэдр широко используется в современной жизни в различных отраслях. Симметрия и правильная форма делают эту геометрическую фигуру незаменимой как в быту, так и в промышленности или науке.

Правильная схема додекаэдра используется:

при производстве игральных костей, применяемых в настольных играх — сумма цифр, которые изображены на противоположных гранях, всегда образует число 13 (для этой платоновской фигуры характерна безупречная симметрия, что немаловажно для игр с вероятностным характером продолжения событий; в некоторых играх так и остались простые кубики, но их возможности не настолько многообразны);
при производстве аудиооборудования (колонки, издающие звучание во всех направлениях, перебивают любой посторонний шум и обеспечивают качественное прослушивание музыки);
при изготовлении современных календарей, в которых каждая грань посвящена отдельному месяцу.

Во время раскопок в XVIII веке на территории европейских стран были обнаружены подозрительные предметы, напоминающие по форме додекаэдры. Они были изготовлены из чистой бронзы и имели полое пространство внутри. Во всех гранях были отверстия с разным диаметром.

Находки датируются III—II вв. еком до наступления нашей эры, обнаружены на территории Франции, Германии, Италии, Испании и многих других стран. Если прислушаться к одной из версий, эти предметы использовались как подсвечники, так как внутри обнаружены восковые частички. Согласно другому предположению, это были древние календари, которые подсказывали оптимальное время посадки культур. Третья версия указывает на то, что объемные многогранники использовались как крепление для военного римского штандарта. Какой из фактов достоверный, неизвестно.

В качестве памятника архитектуры малый усеченный додекаэдр установлен в городе Обнинске около здания ДОСААФ. Сегодня это заброшенный объект, неизвестно даже, почему он здесь установлен и кто его автор. Однако точно определено, что появилась фигура еще при Советском Союзе.

Разнообразие фигур

На основе пяти приведенных видов, используя умение и фантазию, умельцы легко конструируют множество различных моделей из бумаги. Многогранник может совершенно отличаться от вышеописанных пяти фигур, формируясь одновременно из различных по форме граней, например из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если одну или несколько граней пропустить, то получится открытая фигура, просматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезаемые из достаточно плотной, хорошо держащей форму, бумаги. Делают и особенные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей. Разберем способы, как сконструировать очень красивую фигуру на примере додекаэдра (фото 3).

Список литературы

  1. Инженерная 3D-компьютерная графика: учебник и практикум для академического бакалавриата / А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский, И.В. Буторина, В Н. Васильева; под ред. А.Л. Хейфеца. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во Юрайт, 2015. –602 с.
  2. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Гл.1 § 1-8 – М.: Моск. мат. о-во, 1883. – 748 c. http://bookre.org/reader?file=444142&pg=2

  3. Кольман Э. История математики в древности. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. – 235 с. http://www.mathedu.ru/lib/books/kolman_istoriya_matematiki_v_drevnosti_1961/

  4. Мартыненко Г.Я. Математика Гармонии: Возрождение (XIV–XVI вв.) (к 500–летию книги Луки Пачоли «О божественной пропорции») // Академия тринитаризма, (эл № 77-6567, публ.16006, 20.07.2010). http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/1679-mrt.pdf

  5. Стахов А.П. Математика гармонии: Инновации в информационных технологиях, в основаниях математики, в образовании. // Интернет-журнал Науковедение. М.: ИГУПИТ, №4, 2012. –  С. 98. https://naukovedenie.ru/PDF/33tvn412.pdf

  6. Крайнева Л.Б.  Методика проведения спецкурса по геометрии для старшеклассников в условиях личностно-ориентированного обучения: дис. …канд. пед. наук. М., 2007. – 260 с. http://www.dissercat.com/content/metodika-provedeniya-spetskursa-po-geometrii-dlya-starsheklassnikov-v-usloviyakh-lichnostno-

  7. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. М.: КноРус, 2015. –422 с.
  8. Divina proportione: opera a tutti glingegni… : Internet Archive Электронный ресурсhttps://archive.org/details/divinaproportion00paci/page/n41

  9. Щетников А. И. Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции» // Математическое образование, №1 (41), 2007. –  С. 33–44. http://www.nsu.ru/classics/pythagoras/Pacioli.pdf

  10. Ливио М. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания: АТС, М., 2015. –  218 с. http://zodorov.ru/mario-livio—chislo-boga-zolotoe-sechenie—formula-mirozdaniy.html?page=7

  11. Наука. Величайшие теории: выпуск 14: Трехмерный мир. Евклид. Геометрия. – М. Де Агостини, 2015. – 168 с. https://coollib.com/b/337501/read

  12. Смирнова И.М. Каскады из правильных многогранников   http://www.vasmirnov.ru/Lecture/Kaskady/Kaskady.htm

  13. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: гл. 23 – М.: Мир, 1971. – 511 с. http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000043/st025.shtml

  14. Долбилин Н.П. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант, №5, 6, 2001. –С.7-12. http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/kv0501dolbilin.pdf

  15. Долбилин Н.П., Канель А.Я. Гармония правильных многогранников. Математические этюды, 2002-2019. http://www.etudes.ru/ru/etudes/platonic-solids-harmony/

  16. Бездетко П.В. и др. Пространственное моделирование твердотельных правильных многогранников (тел Платона) в системе AutoCAD // Наука и прогресс транспорта. Вестник Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта, – 2009, –№ 27, — С. 167-170. https://cyberleninka.ru/article/n/prostranstvennoe-modelirovanie-tverdotelnyh-pravilnyh-mnogogrannikov-tel-platona-v-sisteme-autocad

Как сделать многогранник из бумаги: второй способ

Изготовьте два главных шаблона (фото 5):

Первый.

Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.

Второй.

Этот шаблон — пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням.

Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.

Как сделать многогранник?

Необходимость сделать многогранник возникает нечасто, однако случается, что ребёнку на дом задают это задание или вы решаете сделать оригинальный подарок другу. А возможно, у вас возникла какая-то дизайнерская задумка. Так или иначе, понадобился многогранник из бумаги. Как его склеить?

Что такое тетраэдр

С помощью наглядной объемной фигуры детям проще научиться иметь представление о пространственном мышлении. В этом помогут объемные геометрические фигуры, сделанные своими руками из бумаги. Тетраэдр представляет собой многоугольную фигуру, которая считается простейшей. Он состоит из 4-х граней, каждая из них является равносторонним треугольником. Стороны треугольников соединяются между собой только одной гранью. В фигуре есть также четыре вершины и шесть ребер.

Людей с давних пор привлекали многогранники как удивительные символы симметрии. Они считали их божественными фигурами. Эти фигуры очень важны в развитии математического мышления детей дошкольного и школьного возраста. Они способствуют развитию геометрического представления и пространственного мышления.

На самом деле такая фигура встречается нам повсюду. Однако, сразу ее заметить сложно. Выполненная из стержней, она встречается как основа для пространственных конструкций:

  • мостов;
  • перекрытий;
  • балок;
  • ферм;
  • пролетов зданий.

Для того чтобы получить такую фигуру, можно не прибегать к сложным математическим вычислениям. Полученная модель позволит иметь наглядное представление о свойствах геометрической фигуры в объемном изображении.

Додекаэдр-звезда

Правильные звёздчатые многогранники относятся к самым красивым геометрическим фигурам. С момента своего открытия в XVI веке, они считались символом совершенства Вселенной. Малый звёздчатый додекаэдр впервые построил немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер – создатель знаменитой теории о строении Солнечной системы. Многогранник имеет собственное имя: Арур Кэли, в честь английского учёного, сделавшего огромный вклад в развитие линейной алгебры.

Малый звёздчатый додекаэдр-оригами представляет собой фигуру из 12 граней-пентаграмм, с пятью пентаграммами, сходящимися к вершинам. Он состоит из 30 модулей, которые складываются из квадратов, размером 8х8 см. Лучше всего использовать профессиональную бумагу-оригами, которая позволит создавать чёткие грани и жёсткие узлы, не позволяющие конструкции распадаться или деформироваться.

Схема оригами «Додекаэдр». Мастер-класс с пошаговым фото / Мастерклассы Блоги

Сборка додекаэдра значительно более сложная, нежели сборка относительно сложного икосаэдра.

Изготовление жесткого икосаэдра без клея с помощью всего лишь одного листа бумаги возможна, но требует исключительного внимания к оригами.

В то же время здесь ограничились показом очень простого равностороннего пятиугольника, использованного в теореме Хага, и плана додекаэдра. Но план — очень ясное указание способа сборки этой исключительно сложной фигуры.

При использовании листа со стороной 6 дюймов (15 см) вершину Р необходимо располагать левое средней точки на 2-3 мм. Разместив край бумаги, как показано, приступайте к складыванию а.

  • Во время складывания а бумагу в этом положении можно удержать на месте нажатием пальца на точку, обозначенную О.

  1. Эти два краешка должны быть сложены исключительно тщательно.
  2. Выбран наиболее удобный из многих разных методов для аккуратного (теоретическая погрешность равна нулю) складывания равностороннего пятиугольника.
  3. План-Чертеж Додекаэдра
  4. (Вид сверху)
  5. * Тем, кому хочется быстро выполнить работу, рекомендуется переснять чертеж и складывать модель по копии.

* Цифры в кружках означают порядок складывания. Двенадцать красных пятиугольников будут служить гранями фигуры. Все их периметры — верхние складки.

* Линии, соединяющие вершины равносторонних пятиугольников на этапе 6, образуют маленький пятиугольник внутри большого. Диагонали этого маленького пятиугольника образуют другие маленькие пятиугольники. Это хорошо заметно на фигуре, показанной выше.

* Построив необходимые двенадцать пятиугольников, вы можете нанести узор из звезд на каждом из них с помощью дополнительных линий.

Если вы являетесь автором фотографии, использованной в статье, напишите нам, мы обязательно укажем авторство!

Кусудама из правильных пятиугольников

Схема сборки додекаэдра-оригами из пентагонов – равносторонних пятиугольников, разработана американским дизайнером Дэвидом Брилом. Для модулей он использует 12 листов формата А6, то есть 10,5х14,8 см.

Пошаговая инструкция:

  1. Исходный прямоугольник складываем пополам в продольном и поперечном направлении, намечая серединные оси.
  2. Правый верхний и левый нижний угол сгибаем к центру. Получаем своего рода полуконверт.
  3. Аналогично складываем противоположные углы.
  4. Пятиугольную заготовку, «закрываем» сверху вниз «долиной».
  5. Верхний угол опускаем вниз и возвращаем обратно. На месте пересечения получившейся линии с вертикальной осью фигуры, образуется точка. К ней поочерёдно сгибаем внешние углы.
  6. Модуль-пентагон готов. Последние два сгиба раскрываем – это будут детали крепления элементов между собой.
  7. Боковые «ушки» одной детали вставляем в «карманы» другой. Места соединения для надёжности фиксируем клеем.
  8. Продолжаем сборку, пока не используем все 12 модулей.

Из подобных додекаэдров часто делают настольные календари. На каждой грани как раз размещается по месяцу. Соответствующие распечатки с числами и днями недели, можно скачать из интернета и наклеить на стенки модели. Получится не только красиво, но и практично.

Юный техник — для умелых рук 1986-12, страница 15

Секреты мастерства 3ВG3ДЧЯТЫв

МНОГОГРАННИКИ

Приглашаем вас на необычный урок геометрии, где вы научитесь построению звездчатых многогранников. В основе их лежат строгие математические закономерности.

Изготовив хотя бы одну такую звезду, вам, наверное, захочется «открыть» и другие. Своим разнообразием эти геометрические фигуры напоминают фантастические звезды, планеты, астероиды. Причем среди них, вероятно, есть и такие, которые еще никому не удавалось рассчитать и построить. Может, это Сделаете вы? Только начинать работу надо с азов.

Познакомившись с техникой изготовления простых звездчатых многогранников, вы сможете украсить рукотворными звездами актовый зал школы для новогоднего бала, свою комнату, елку. А почему бы не подарить такую звездочку ветерану, другу, не устроить выставку, где вы посоревнуетесь с друзьями в фантазии?

С глубокой древности математикам были известны пять выпуклых многогранников, которые называют Платоновыми телами. Это известные, наверное, каждому школьнику тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Этим фигурам в древности приписывали магические свойстза, они олицетворяли землю, воздух, воду, солнце, космос. Их только пять, больше при всем желании не придумаешь.

Каждая из этих фигур образована одинаковыми равносторонними многоугольниками: треугольниками, квадратами, пятиугольниками. Они и являются основой для построения любых звездчатых многогранников.

На рисунках 1—5 изображены пять простых многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Здесь же даны чертежи их граней и возможные варианты разверток для их склейки. Такие грани довольно просто построить, зная основы геометрии.

Элементы для построения звездчатых фигур в основном такие же, только здесь каждая звезда может состоять и из разных граней (см. стр. 16).

Например, фигуры 6, 7, 8 составлены из одинаковых граней, а вот фигуры 9 и 10 — из двух видов граней. Из нескольких граней можно склеить заготовку для одной из вершин звезды, а после соединить их. Чаще всего грани образованы треугольниками либо квадратами. Сложнее форма граней, показанных на рисунках 8, 9, 10.

По приведенным здесь разверткам получится одна из вершин звезды. Остальные делаются так же.

У звезд 6, 7 и 8 все грани для одной заготовки одинаковы. У звезд 9 и 10 по две формы заготовок и, естественно, две формы вершин.

При изготовлении звезд по рисункам 9 и 10 вы убедитесь, что они получаются из взаимного пересечения двух видов более простых звезд. Так, звезда на рисунке 9 составлена из звезд 6 и 7; а звезда на рисунке 10 — из звезд 7 и 8-

Для изготовления звезд лучше всего применять тонкий цветной картон, наборы которого продаются в магазинах канцтоваров. Можно использовать плотную ватманскую бумагу, отходы от упаковок из картона. Для склеивания применяйте клей ПВА.

Из инструментов вам понадобятся: металлическая линейка, остро заточенный твердый карандаш, шило, чертилка или запиленный под шило гвоздь, вставленный в цанговый карандаш, кисть или тонкая вязальная спица для нанесения клея, ножницы прямые с острыми концами, большие и маленькие, и подкладка из картона, на которой вы будете работать.

Из плотной бумаги или картона сначала изготовьте шаблон одной грани, а лучше — заготовки целиком. С приведенных на наших рисунках разверток переколите их контуры. На изнаночной стороне картона соедините метки карандашом, а потом проведите по полученным линиям кончиком шила.

У каждой заготовки оставьте припуск (клапан) для склейки заготовок по ребрам. Согните заготовки по линиям сгиба на лицо, используя линейку.

Изготовиз полный комплект заготовок, приступайте к склейке вершин. Сначала нужно склеить каждую вершину отдельно. Клей наносится на края граней и на оставленный клапан, детали плотно прижимаются друг к другу до высыхания. После этого можно раскрасить одинаковые вершины. Причем у звезд 9 и 10 вершины разной формы должны быть разного цвета.

Для окончательной сборки звезды осталось склеить вершины друг с другом. При этом некоторые клапаны окажутся лишними, их обрезают. Клеить надо так, чтобы все клапаны оказались внутри. Если развертка выкроена правильно, каждая вершина точно встает на свое место. Трудно бывает приклеить последнюю вершину, но подумав, вы найдете выход из положения.

На этом можно было бы и закончите статью. Но все-таки хочется не ограничиваться рекомендациями, с которыми вы познакомились выше. Попробуйте придумать свою звезду! Какой она получится, посмотрим. Ждем от вас сообщений.

А. БИРЮКОВ, г. Курск Рисунки М. СИМАКОВА

15

Геометрические отношения

Додекаэдра является третьим в бесконечном множестве усеченного trapezohedra которая может быть построена путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапецоэдра .

В созвездиях регулярного додекаэдра составляют три из четырех Кеплер-Пуансо многогранников .

Выпрямляются додекаэдр образует икосододекаэдр .

Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию I h , группу Кокстера , порядок 120, с абстрактной групповой структурой A 5 × Z 2 .

Отношение к правильному икосаэдру

Когда правильный додекаэдр вписан в сферу , он занимает больше объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%).

Правильный додекаэдр с длиной ребра 1 имеет более чем в три с половиной раза объем икосаэдра с такой же длиной ребер (7,663 … по сравнению с 2,181 …), что примерно составляет 3,512 461 179 75 , или в точных терминах:35(3 ϕ + 1) или (1,8 ϕ + 0,6) .

У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. У обоих по 30 ребер.

Отношение к вложенному кубу

Куб может быть встроен в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми из его равноудаленных вершин в пяти различных положениях. Фактически, пять кубов могут перекрываться и сцепляться внутри правильного додекаэдра, в результате чего получается соединение пяти кубов .

Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1:  ϕ или ( ϕ  — 1): 1.

Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, заключенного внутри такого правильного додекаэдра, равно 1: 22 +  ϕ, или 1 +  ϕ2 : 1 или (5 +  √ 5 ): 4.

Например, вложенный куб с объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64 + 32 ϕ (и длиной ребра 4 ϕ  — 4).

Таким образом, разница в объеме между окружающим правильным додекаэдром и замкнутым кубом всегда равна половине объема куба, умноженного на  ϕ .

Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a через золотую середину:

V = ( ) 3 ·14(5 +  √ 5 )
V =14(14 ϕ  + 8) а 3

Отношение к золотому прямоугольнику

Золотые прямоугольники отношения ( ϕ  + 1): 1 и ϕ  : 1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр. Пропорционально этому золотому прямоугольнику край замкнутого куба равен ϕ , когда большая длина прямоугольника равна ϕ  + 1 (или ϕ 2 ), а короткая длина равна 1 (ребро, общее с правильным додекаэдром).

Кроме того, в центре каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника.

Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром

Проекция 6-полукуба на правильную додекаэдрическую огибающую

Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-полукуба, используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку из 6-куба . Показанные здесь 12 внутренних вершин, которые не соединены ребрами внешней оболочки с 6D нормальной длиной √ 2 , образуют правильный икосаэдр .

Используемые базисные векторы трехмерной проекции [ u , v , w ]:

u = (1, ϕ , 0, −1, ϕ , 0)
v = ( ϕ , 0, 1, ϕ , 0, −1)
w = (0, 1, ϕ , 0, −1, ϕ )

Интересные факты о додекаэдре

Правильные многогранники с древних времен восхищали человечество и служили прообразом мирового устройства. Как оказалось, подобные представления небезосновательны. В 2003 году, анализируя данные исследовательского аппарата WMAP, запущенного NASA для изучения фоновых космических излучений, учёные выдвинули гипотезу о додекаэдрическом строении Вселенной по принципу сферы Пуанкаре.

Нечто подобное предполагал и живший в V в. до н. э. древнегреческий философ Платон. В своём учении о классических стихиях, он назвал додекаэдр «образцом божественного устройства Космоса». Вообще же все пять известных правильных многогранников до сих пор называют Платоновыми телами, по имени мыслителя, впервые выстроившего с их помощью чёткую картину мироздания.

Пентагон, лежащий в основе додекаэдра, построен на принципах «золотого сечения». Эта пропорция, которую древние греки считали «божественной» часто встречается в природе. Интересно, что соотношения «золотого сечения» присущи лишь додекаэдру и икосаэдру, у трёх других Платоновых тел его нет.

Игрушки древних римлян

На территориях Европы, некогда принадлежавших Римской империи, до сих пор находят загадочные бронзовые фигурки в форме додекаэдра. Предметы пустотелые, с круглыми отверстиями на каждой стороне и шариками, обозначающими вершины. Учёные пока не смогли однозначно определить функцию этих объектов. Первоначально считалось, что это своеобразные игрушки, однако позднее их отнесли к предметам культа, символизирующим устройство Вселенной. Или Земли, согласно теории, последовательно выдвигаемой с XIX века мировыми физиками, в том числе и российскими.

Впервые о том, что наша планета представляет собой кристалл додекаэдрической формы, заговорили французский математик Пуанкаре и геолог-исследователь де Бемон. Они утверждали, что земная кора, словно футбольный мяч, состоит из 12 правильных пятиугольников, в местах соединения которых, располагаются аномальные зоны и планетарные силовые поля.

В 1920-х годах идею французских коллег подхватил русский физик Степан Кислицын. Он пошёл ещё дальше, заявив, что планета не остаётся в стабильном состоянии, она растёт, из додекаэдра постепенно трансформируясь в икосаэдр. Учёный разработал модели подобных изменений, обозначив узлы гигантской кристаллической сетки, где, по его мнению, располагались месторождения полезных ископаемых: угля, нефти, газа и так далее. В 1928 году Кислицын, опираясь на свои исследования, указал на поверхности земного шара 12 алмазоносных центров, из которых 7 к настоящему времени находятся в активной разработке.

Идеи кристаллического строения планеты продолжают развиваться в XXI веке. Согласно последней гипотезе, подобная структура свойственна всем живым организмам, не только космическим телам, но и человеку. Тем интереснее будет собирать додекаэдр-оригами, чувствуя свою сопричастность к великим тайнам Вселенной.

Геометрические свойства

Древние мудрецы утверждали: «Чтобы понять невидимое, внимательно смотри на видимое». В сакральных науках додекаэдр считается самым мощным и интересным многогранником. Впервые объемный двенадцатигранник был сделан и построен древнегреческим ученым Теэтетом в IV веке до нашей эры.

Фигура состоит из следующих элементов:

  • 12 граней — правильных пятиугольников;
  • 30 ребер;
  • 20 вершин, в каждой из которых находится точка пересечения трёх ребер и вершина трёх пятиугольников.

Любая из 15 плоскостей симметрии также проходит во всех гранях через середину и вершину противоположно расположенного ребра.

Чтобы понять, что собой представляет этот геометрический элемент, можно сделать развертку додекаэдра. Так более понятно выглядит его площадь. Кроме того, именно по этой схеме можно пошагово сделать фигуру самостоятельно из бумаги или картона, начертив предварительный шаблон с небольшими припусками для загибов.

На чертеже важно правильно определить линии сгибов. При этом немаловажно перед склеиванием знать, какой оттенок материала будет использован

По мнению древнегреческого философа Платона, додекаэдр не относится к известным земным элементам (Огонь, Вода, Земля) и поэтому ассоциируется с пустотой. Такая фигура делается из бумаги желтого цвета.

Развертка также может быть цветной. Первый классический вариант сборки — фигура с гранями, каждая из которых имеет свой оттенок. Второй способ — использование повторяющихся цветов, но они не могут граничить друг с другом.

Додекаэдр, ассоциирующийся с формой кристалла, имеет следующие характерные для него свойства и элементы симметрии:

  • присутствует 6 осей пятого порядка (это означает, что фигура поворачивается на угол 72 градуса — 360/5);
  • 15 осей второго порядка (при симметричном повороте угол составляет 360/2 = 180 градусов);
  • 10 осей третьего порядка (симметрия проявляется при повороте на 120 градусов — 360/3).

Идея определения симметрии проста и интересна: если внутри кристалла вообразить ось, а потом вокруг нее повернуть фигуру на определенный угол, то элемент сам с собой совпадет. Это не свойственно никаким другим геометрическим фигурам.

История и использование

Римский додекаэдр

Всенаправленный источник звука

Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли роль в изобразительном искусстве и философии.

Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что впервые раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». В Теэтете , диалоге Платона, Платон выдвинул гипотезу, что классические элементы состоят из пяти однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновы тела . По поводу пятого платоновского тела, додекаэдра, Платон невнятно заметил: «… бог использовал для расстановки созвездий на всем небе». Тимей ( ок.  360 г. до н.э. ), как персонаж диалога Платона, связывает другие четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятый твердый узор, который, хотя и обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда прямо не упоминается как такой; «это Бог использовал для описания вселенной». Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr ( эфир на латыни, эфир на американском английском).

Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что никаких других выпуклых правильных многогранников не существует.
Евклид полностью математически описал Платоновы тела в Элементах , последняя книга (Книга XIII) которых посвящена их свойствам. В предложениях 13–17 Книги XIII описывается построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в таком порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине края. В предложении 18 он утверждает, что выпуклых правильных многогранников больше не существует.

Обычные додекаэдры использовались как игральные кости и, вероятно, также как гадательные приспособления. В эллинистическую эпоху были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.

В искусстве ХХ века додекаэдры появляются в работах М.К. Эшера , таких как его литографии « Рептилии» (1943) и « Гравитация» (1952). На картине Сальвадора Дали « Таинство Тайной вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Жерар Карис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое направление в искусстве, названное пентагонизмом.

Стена для скалолазания, состоящая из трех додекаэдрических частей.

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется в качестве двенадцатигранной , одной из наиболее распространенных .

Компания Immersive Media , производящая камеры, создала камеру Dodeca 2360, первую в мире камеру с полным движением на 360 °, которая снимает видео высокого разрешения со всех сторон одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. Он основан на правильном додекаэдре.

Megaminx извилистые головоломки, наряду с его большими и малыми аналогами порядка, в форме додекаэдра.

В детском романе «Призрак Толлбут» правильный додекаэдр появляется как персонаж в стране математики. Каждое его лицо имеет различное выражение — например, счастливое, злое, грустное, — которое он поворачивает вперед по мере необходимости, чтобы соответствовать своему настроению.

В природе

Ископаемые кокколитофориды

Хо-Mg-Zn квазикристаллическая

Ископаемая кокколитофора Braarudosphaera bigelowii (см. Рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет раковину из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой около 10 микрометров в поперечнике.

Некоторые квазикристаллы имеют додекаэдрическую форму (см. Рисунок). Некоторые регулярные кристаллы , такие как гранат и алмазы также сказали выставляться «двенадцатигранной» привычка , но это утверждение на самом деле относится к ромбическому додекаэдру формы.

Форма вселенной

Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. В дополнение к примитивной геометрии , эти предложения включают с положительной кривизной, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют друг другу (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году, а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году.

В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» цифра 5 гласила: «Я — количество пальцев на руке. Я делаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдра не могло бы существовать. ; и, как всем известно, Вселенная — это додекаэдр. Так что, если бы не я, вселенной не могло быть «.